積分の計算を楽にする公式として
$$∫_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$$
こんなのがあるのですが、つい先日
放物線と直線のときしか使えないと思ってました
と、塾生がいろいろ勘違いしていたようなのでその公式なるものがどんなものかを伝えておきました。
これは、ただ、計算を楽にするだけの公式です。
$∫_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx$の計算結果が$-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$になるというだけのことです。
このときだけ発動できる計算を楽にするただのツールです。
ややこしそうな積分がこの形になるのかを見抜けるかどうかが肝になります。
$x^2+mx+n=0$の解が$\alpha, \ \beta$であれば
$x^2+mx+n=(x-\alpha)(x-\beta)$と因数分解でき
$∫_\alpha^\beta(x^2+mx+n)dx$が
$∫_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx$と書け
計算すると
$-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$になる
というだけのことです。
$x^2$に係数がついたらできないの？と思うかもしれませんが、そんな時は上手に変形すればいいのです。
ここで怖いのが「覚えなければいけない」と思っちゃうことです。
そして、うろ覚えの状態で「えいっ」と使ってしまって間違えてしまうことです。
余裕で使いこなせる人はじゃんじゃん使てくれたらいいのですが、自信のない人は使わなくてもいい代物です。
無理して使う必要はありません。
今まで通りの積分の計算をすれば何の問題もありません。
仕組みがきちんと理解できてから使うようにしておきましょう。
「なんとなくこんな感じ」で使うことのないように。
これはすべての「公式」呼ばれるものに対して言えることです。
仕組みを理解する勉強を意識してください！
使いこなせるようになれば、計算量がびっくりするくらい少なくなるので、仕組みを理解しようとしてみることはおすすめしておきます。
結論
無理して使う必要はないが、理解して使えるようになると超便利
